Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66688

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $1$. Найдите наибольшее возможное значение величины $\frac1{AC^2}+\frac1{BD^2}$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64749

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Соображения непрерывности ] [ Доказательство от противного ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64883

Темы:   [ Общие четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A₁, сторону LM в точках B и B₁, и т.д. Докажите что
  а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD₁A₁, LA₁B₁, MB₁C₁ и NC₁D₁ также пересекаются в одной точке Q;
  б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65024

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Птолемея ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65046

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема о группировке масс ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда  IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями