Все авторы
>>
Прасолов В.В. 
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила n+1/4.
В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 3)(n + 4) будет целым.
В 12 часов дня "Запорожец" и "Москвич" находились на расстоянии 90 км и начали двигаться навстречу друг другу с постоянной скоростью. Через два часа они снова оказались на расстоянии 90 км. Незнайка утверждает, что "Запорожец" до встречи с "Москвичом" и "Москвич" после встречи с "Запорожцем" проехали в сумме 60 км. Докажите, что он неправ.
Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого
является число +
.
Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.).
Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
Все задачи автора Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
Задача 52488 |
|
|
Окружность S2 проходит через центр O окружности S1 и пересекает её в точках A и B. Через точку A проведена касательная к окружности S2. Точка D – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью S1. Докажите, что AD = AB.
|
|
Решение |
Задача 53557 |
|
|
Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD.
|
|
|
Решение |
Задача 97767 |
|
|
M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
|
|
|
Решение |
Задача 108001 |
|
|
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
|
|
Решение |
Задача 108053 |
|
|
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
