Версия для печати
Убрать все задачи

---

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

   Решение

---

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
  б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

   Решение

Страница: << 250 251 252 253 254 255 256 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116825

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n.
  а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?
  б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы  C(a + b) > 1000?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116826

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Из 239 неотличимых на вид монет две – одинаковые фальшивые, а остальные – одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее – фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116828

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116829

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116834

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дана бесконечная последовательность чисел  a₁, a₂, a₃, ...  Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
a_k = a_k+t = a_k+2t = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что  a_k = a_k+T  при любом натуральном k?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 250 251 252 253 254 255 256 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями