Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Вниз   Решение


Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

ВверхВниз   Решение


Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.

ВверхВниз   Решение


Радиусы окружностей S1 и S2, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведенной к окружности S2 из точки B окружности S1, если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

ВверхВниз   Решение


Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD равен $ \varphi$. Докажите, что  AD2 = AB2 + BC2 + CD2 - 2(AB . BC cos B + BC . CD cos C + CD . AB cos$ \varphi$).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

ВверхВниз   Решение


Три окружности S1, S2 и S3 попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S1 и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами ее диаметра.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 64]      



Задача 58250  (#25.009.1)

Тема:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что при n$ \ge$3 среди полученных частей не менее (2n - 2)/3 треугольников.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58251  (#25.010.1)

Тема:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно - n + $ \sum$$ \lambda$(P).
Прислать комментарий     Решение


Задача 58252  (#25.011.1)

Тема:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + $ \sum$($ \lambda$(P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58253  (#25.012.1)

Тема:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

a$\displaystyle \le$2b - 2 - $\displaystyle \sum$($\displaystyle \lambda$(P) - 2),

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58254  (#25.034)

Тема:   [ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 64]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .