Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

   Решение

Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

   Решение

Две касающиеся окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO₁O₂.

   Решение

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S.

   Решение

Радиусы окружностей S₁ и S₂, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведенной к окружности S₂ из точки B окружности S₁, если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

   Решение

Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD равен . Докажите, что  AD² = AB² + BC² + CD² - 2(AB ^. BC cos B + BC ^. CD cos C + CD ^. AB cos).

   Решение

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

   Решение

Три окружности S₁, S₂ и S₃ попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S₁ и S₂ с двумя другими точками касания, пересекают окружность S₃ в точках, являющихся концами ее диаметра.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120°?

Прислать комментарий

Решение

Найдите все взаимно простые a и b, для которых   = ³/₁₃.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если  (a₁, a₂, ..., a_n) = 1,  то уравнение  a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 1  разрешимо в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Докажите равенства
  а)  [1, 2,..., 2n] = [n + 1, n + 2, ..., 2n];
  б)  (a₁, a₂, ..., a_n) = (a₁, (a₂, ..., a_n));
  в)  [a₁, a₂, ..., a_n] = [a₁, [a₂, ..., a_n]].

Прислать комментарий

Решение

На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.
  а) Докажите, что можно провести только конечное число операций.
  б) Финальный результат независимо от порядка действий будет одним и тем же. Например:
    (4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),
    (4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]