Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружности S₁,..., S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_{i + 1} окружности S_{i + 1} так, что прямая X_iX_{i + 1} проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_{i + 1}, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на  S₃,..., с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

   Решение

Страница: << 276 277 278 279 280 281 282 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67148

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67149

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина – в синий. Может ли сумма длин всевозможных отрезков, у которых левый конец красный, а правый – синий, равняться сумме длин всех отрезков, у которых левый конец синий, а правый – красный? (Концы рассматриваемых отрезков – не обязательно соседние отмеченные точки.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67150

Темы:   [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67151

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Доска 2$N$×2$N$ покрыта неперекрывающимися доминошками 1×2. По доске прошла хромая ладья, побывав на каждой клетке по одному разу (каждый ход хромой ладьи – на клетку, соседнюю по стороне). Назовём ход продольным, если это переход из одной клетки доминошки на другую клетку той же доминошки. Каково

а) наибольшее;

б) наименьшее возможное число продольных ходов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67153

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число.

а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?

б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 276 277 278 279 280 281 282 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями