ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Туры:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$. Упростить выражение
Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность,
которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E.
Найдите AE, зная, что
AK = KB = a,
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке.
Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены.
Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся
треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.
В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре? В треугольнике ABC на стороне AB взята точка L, причём
AL = 1, BL = 3, а на стороне BC взята точка K, делящая эту сторону в отношении Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC
до прямых AB и AC равны db и dc. Докажите,
что
db/dc = BX . AC/(CX . AB).
Какое наименьшее количество точек на плоскости надо взять, чтобы среди попарных расстояний между ними встретились числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64? Решить в целых числах уравнение x³ – 2y³ – 4z³ = 0.
Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]
В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., n. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке