Версия для печати
Убрать все задачи

---

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько угодно раз, пока он не скажет “стоп”. Может ли Фукс добиться того, чтобы после слова "стоп"
  а) каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
  б) рядом со свободным местом наверняка не было туза пик?

   Решение

---

Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

   Решение

Страница: << 216 217 218 219 220 221 222 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98050

Темы:   [ Взвешивания ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
  б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98052

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Докажите, что
   а) если натуральное число n можно представить в виде  n = 4k + 1,  то существуют n нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
   б) если n нельзя представить в таком виде, то таких n нечётных натуральных чисел не существует.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98054

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98056

Темы:   [ Взвешивания ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
  б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98060

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Неравенство Коши ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше a.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 216 217 218 219 220 221 222 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями