Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

   Решение

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

   Решение

На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁. Пусть P₁ — произвольная точка прямой BC, P₂ — точка пересечения прямых P₁B₁ и AB, P₃ — точка пересечения прямых P₂A₁ и CA, P₄ — точка пересечения P₃C₁ и BC и т. д. Докажите, что точки P₇ и P₁ совпадают.

   Решение

Каждый из двух правильных многоугольников P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и одну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?

   Решение

Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если:
  а) веса гирь набора все целые,
  б) веса не обязательно целые?

   Решение

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A₂ и B₂ симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AB₁B₂ и BA₁A₂. Докажите, что углы O₁CA и O₂CB равны.

   Решение

Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.

   Решение

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

   Решение

Каково наибольшее n, при котором так можно расположить n точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?

   Решение

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников  ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей через точку Q.

   Решение

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A₁, A₂, на другой – B₁, B₂, так что точка C₁ пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂ лежит на третьей прямой. Пусть C₂ – точка пересечения A₁B₂ и A₂B₁. Докажите, что угол C₁OC₂ прямой.

   Решение

Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат (см. рис.).

Покажите как по-другому разрезать эту фигуру на две части, из которых тоже можно сложить квадрат.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат (см. рис.).

Покажите как по-другому разрезать эту фигуру на две части, из которых тоже можно сложить квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, первоначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо от ходов другого?

Прислать комментарий

Решение

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что n недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число n?

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что  AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Назовем тропинкой замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки M на ней, что любая прямая, проходящая через M, делит тропинку пополам, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]