Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Вниз   Решение


Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

ВверхВниз   Решение


Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

ВверхВниз   Решение


Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

ВверхВниз   Решение


D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

ВверхВниз   Решение


Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Дан выпуклый четырехугольник ABCD A1, B1, C1 и D1 — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A1B1C1D1 определяются точки  A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

ВверхВниз   Решение


Пусть  {pn} – последовательность простых чисел  (p1 = 2,  p2 = 3,  p3 = 5, ...).
  а) Докажите, что  pn > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  pn > 3n?

ВверхВниз   Решение


Король стоит на поле a1. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

ВверхВниз   Решение


В коробке лежит 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Ферзь стоит на поле c1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8.

ВверхВниз   Решение


Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

ВверхВниз   Решение


Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 57477  (#1)

Темы:   [ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8

Автор: Фольклор

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98200  (#2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?
Прислать комментарий     Решение


Задача 108598  (#3)

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98202  (#4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Средние величины ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Доказательство от противного ]
[ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Выпуклый 1993-угольник разрезан на выпуклые семиугольники.
Докажите, что найдутся четыре соседние вершины 1993-угольника, принадлежащие одному семиугольнику.
(Вершина семиугольника не может лежать внутри стороны 1993-угольника.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98203  (#5)

Темы:   [ Метод координат на плоскости ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .