Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + anx + bn  равно многочлену  P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n,  где коэффициенты  c1, c2, ..., c2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты ak и bk положительны.

Вниз   Решение


Автор: Храмцов Д.

Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям:  a0 = 0,  ak+1ak + 1  при  k = 0, 1, ..., n – 1.  Докажите неравенство  

ВверхВниз   Решение


Имеются одна красная и k  (k > 1)  синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?

ВверхВниз   Решение


Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее.
Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

ВверхВниз   Решение


Существуют ли шесть таких последовательных натуральных чисел, что наименьшее общее кратное первых трёх из них больше, чем наименьшее общее кратное трёх следующих?

ВверхВниз   Решение


Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число  xp + yq   рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.

ВверхВниз   Решение


Автор: Пастор А.

В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.

ВверхВниз   Решение


Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

ВверхВниз   Решение


Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1000000, что  1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1/abcd.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 54]      



Задача 110205  (#06.4.11.7)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Козлов П.

Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110206  (#06.4.11.8)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109850  (#06.5.9.1)

Темы:   [ Шахматная раскраска ]
[ Ломаные ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Четность и нечетность ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109851  (#06.5.9.2)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1000000, что  1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1/abcd.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109852  (#06.5.9.3)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Раскраски ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Системы точек ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 54]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .