Версия для печати
Убрать все задачи

---

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₂₀ всех экскурсий.

   Решение

---

а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)

б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

   Решение

---

В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник A₁A₂...A₃₀. Докажите, что на дугах A₁A₂, A₂A₃, ..., A₃₀A₁ можно отметить по одной точке (B₁, B₂, ..., B₃₀ соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника A₁B₁A₂B₂...A₃₀B₃₀ численно равнялась периметру тридцатиугольника A₁A₂...A₃₀.

   Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111646

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны три различных натуральных числа, одно из которых равно полусумме двух других.
Может ли произведение этих трёх чисел являться точной 2008-й степенью натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111647

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Несколько спортсменов стартовали одновременно с одного и того же конца прямой беговой дорожки. Их скорости различны, но постоянны. Добежав до конца дорожки, спортсмен мгновенно разворачивается и бежит обратно, затем разворачивается на другом конце, и т.д. В какой-то момент все спортсмены снова оказались в одной точке. Докажите, что такие встречи всех будут продолжаться и впредь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111648

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

У Алёши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алёша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Серёжа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос – и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого Серёжа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алёшей равно количеству различных чисел среди записанных Серёжей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111649

Тема:   [ Иррациональные уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Решите систему уравнений  (n > 2) 

     

    x₁ – x₂ = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111650

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник A₁A₂...A₃₀. Докажите, что на дугах A₁A₂, A₂A₃, ..., A₃₀A₁ можно отметить по одной точке (B₁, B₂, ..., B₃₀ соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника A₁B₁A₂B₂...A₃₀B₃₀ численно равнялась периметру тридцатиугольника A₁A₂...A₃₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями