Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
год/номер:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Вниз   Решение


Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число.
Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

ВверхВниз   Решение


Даны числа а1, ..., аn.
Для 1 ≤ in положим

di = MAX { aj | 1 ≤ ji } - MIN { aj | ijn }
d = MAX { di | 1 ≤ in }

а) Доказать, что для любых x1x2 ≤ ... ≤ xn выполняется неравенство

MAX { |xi - ai| | 1 ≤ in } ≥ d/2.


б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi} i=1...n

ВверхВниз   Решение


Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

ВверхВниз   Решение


Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.

ВверхВниз   Решение


Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

ВверхВниз   Решение


Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

ВверхВниз   Решение


Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

ВверхВниз   Решение


Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство  x² + y³ ≥ x³ + y4.  Докажите, что  x³ + y³ ≤ 2.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

ВверхВниз   Решение


Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

ВверхВниз   Решение


Автор: Карасев Р.

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Верно ли, что если  b > a + c > 0,  то квадратное уравнение  ax² + bx + c = 0   имеет два корня?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 557]      



Задача 116445

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Верно ли, что если  b > a + c > 0,  то квадратное уравнение  ax² + bx + c = 0   имеет два корня?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116449

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСD и пересекает его стороны АВ, ВС, СD и DA в точках M, N, P и K соответственно. Докажите, что  MK || NP.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116457

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Известно, что   .   Найдите значение выражения   .

Прислать комментарий     Решение

Задача 116528

Тема:   [ Рациональные уравнения ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Решите уравнение:   (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).

Прислать комментарий     Решение

Задача 116533

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 557]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .