Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

   Решение

---

Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA₁ – его биссектриса, A₂ – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B₁, B₂, C₁, C₂. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA₁A₂, BB₁B₂, CC₁C₂, лежит на прямой OI.

   Решение

---

Кристалл пирита представляет собой параллелепипед, на каждую грань которого нанесена штриховка.

На любых двух соседних гранях штриховка перпендикулярна. Существует ли выпуклый многогранник с числом граней, не равным $6$, грани которого можно заштриховать аналогичным образом?

   Решение

---

Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.

   Решение

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116898

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116901

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Высоты AA₁, CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA₁. Точка P – середина отрезка A₁C₁. Докажите, что  ∠QPH = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116906

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

При каких  n > 3  правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116910

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116914

Темы:   [ ГМТ (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями