ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Главы:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Ёжик может встретить в тумане либо Сивого Мерина, либо Сивую Кобылу, либо своего друга Медвежонка. Однажды Ёжику вышли навстречу все трое, но туман был густой, и Ёжик не видел, кто из них кто, а потому попросил представиться. Тот, кто, с точки зрения Ёжика, был слева, сказал: «Рядом со мной Медвежонок». Тот, кто стоял справа, заявил: «Это тебе сказала Сивая Кобыла». Наконец, тот, кто был в центре, сообщил: «Слева от меня Сивый Мерин». Определите, кто где стоял, если известно, что Сивый Мерин врёт всегда, Сивая Кобыла — иногда, а Медвежонок Ёжику не врёт никогда? На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что AB = AK. Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине. Докажите, что для любого натурального числа n > 1 найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что a + b = c + d = ab – cd = 4n. На сторонах произвольного треугольника ABC вне
его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C
и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами При каких n многочлен 1 + x² + x4 + ... + x2n–2 делится на 1 + x + x2 + ... + xn–1? Докажите, что 2(x² + y²) ≥ (x + y)² при любых x и y. Построить треугольник ABC по трем точкам H1, H2 и H3, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон. Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24. Докажите, что многочлен P(x) = (x + 1)6 – x6 – 2x – 1 делится на x(x + 1)(2x + 1). Тетрадь, ручка и карандаш стоят 120 рублей. А 5 тетрадей, 2 ручки и 3 карандаша стоят 350 рублей. Что дороже: две тетради или одна ручка? Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC. Докажите, что если в выражении (x² – x + 1)2014 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным. Сколько представлений допускает дробь Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел? Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
|
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 180]
Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 180]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке