Каталог по источникам

Выбрано 15 задач

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Решение

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из n× клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.

Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение

Автор: Гашков С.Б.

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам x и y он вычисляет x + y, x − y и ${\frac{1}{x}}$ (при x ≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

Решение

Пусть две прямые пересекаются под углом α. Докажите, что при повороте на угол α (в одном из направлений) относительно произвольной точки одна из этих прямых перейдёт в прямую, параллельную другой.

Решение

Автор: Заславский А.А.

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

Решение

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Два одинаковых прямоугольных треугольника из бумаги удалось положить один на другой так, как показано на рисунке (при этом вершина прямого угла одного попала на сторону другого). Докажите, что заштрихованный треугольник равносторонний.

Решение

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Решение

а) a, b, c — длины сторон треугольника. Доказать, что a⁴ + b⁴ + c⁴ − 2(a²b² + a²c² + b²c²) + a²bc + b²ac + c²ab ≥ 0.
б) Доказать, что a⁴ + b⁴ + c⁴ − 2(a²b² + a²c² + b²c²) + a²bc + b²ac + c²ab ≥ 0 для любых неотрицательных a, b, c.

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ACBD, площадь которого равна 25, проведены диагонали. Известно, что S_ABC = 2 S_BCD, а S_ABD = 3 S_ACD. Найдите площади треугольников ABC, ACD, ADB и BCD.

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC ∠B = arctg ⁸/₁₅. Окружность радиуса 1, вписанная в угол C, касается стороны CB в точке M и отсекает от основания отрезок KE. Известно, что MB = ¹⁵/₈. Найдите площадь треугольника KMB, если известно, что точки A, K, E, B следуют на основании AB в указанном порядке.

Решение

Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Найдите длину биссектрису, проведённой из вершины прямого угла.

Решение

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

Решение

Угол при вершине A ромба ABCD равен 20°. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на стороны AD и CD.
Найдите углы треугольника BMN.

Решение

Задача 54043

Задача 54058

Задача 54059

Задача 54074

Задача 54088