ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Решить систему Учащиеся 57-й школы решили провести чемпионат по мини-футболу. Так как ворота на школьном дворе разного размера, то игроки хотят составить расписание игр так, чтобы: Даны 16 чисел: 1, 11, 21, 31 и т.д. (каждое следующее на 10 больше предыдущего). Квадратный клетчатый лист бумаги 2N × 2N клеток начинают складывать следующим образом. Сначала нижняя половина листа накладывается на верхнюю, затем правая половина листа накладывается на левую. Эту операцию повторяют N-3 раза, в результате чего получается сложенный лист 8 × 8 клеток. Какие-то из клеток этого сложенного листа удаляются при помощи дырокола. После развертывания исходный лист распадется на некоторое количество
связных частей, т.е. таких множеств клеток, что из любой клетки одного
множества можно пройти до любой другой, переходя каждый раз на соседнюю
по вертикали или горизонтали клетку. Напишите программу, вычисляющую
число частей, на которые распадется лист.
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
В картинной галерее, имеющей форму N-угольника, расположено M люстр,
которые мы будем считать точечными источниками света. Точка стены галереи
называется освещенной, если из нее видна хотя бы одна из люстр.
Неосвещенным участком будем называть максимальное связное множество
точек стены галереи, ни одна из которых не освещена (участок может содержать
углы галереи). Напишите программу, определяющую все неосвещенные
участки.
Найдите значение выражения 53+log52 . Волейбольный чемпионат с участием 16 команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть $A$ выиграла у $B$, $B$ выиграла у $C$, а $C$ выиграла у $A$). Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число m получается из числа n вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и m, и n принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)? После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени T рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента T? Даны положительные числа h, s1, s2 и расположенный в пространстве треугольник ABC. Сколькими способами можно выбрать точку D так, чтобы в тетраэдре ABCD высота, опущенная из вершины D, была равна h, а площади граней ACD и BCD соответственно s1 и s2 (исследовать все возможные случаи)? В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся. Дан угол, равный 19°. Разделите его на 19 равных частей с помощью циркуля и линейки. |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]
30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Дан угол, равный 19°. Разделите его на 19 равных частей с помощью циркуля и линейки.
Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение.
Если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3. Доказать.
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке