Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
12 турнир (1990/1991 год)
>>
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Можно ли расставить на листе клетчатой бумаги крестики и нолики так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя было встретить три одинаковых знака подряд?
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Из шахматной доски $8\times8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.
а) Найдите четыре таких числа.
б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.
На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен 180°/2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.
Найдите ГМТ X, из которых можно провести
касательные к данной дуге AB окружности.
Пусть O — центр правильного треугольника ABC.
Найдите ГМТ M, удовлетворяющих следующему условию:
любая прямая, проведенная через точку M, пересекает либо
отрезок AB, либо отрезок CO.
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)
Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена
прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A1,
B1 и C1. Докажите, что
(1/) + (1/
) + (1/
) = 0 (отрезки MA1, MB1 и MC1 считаются
ориентированными).
Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).
Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 98085 (#1) |
|
|
Докажите, что произведение 99 дробей где k = 2, 3, ..., 100, больше ⅔.
|
|
Решение |
Задача 108051 (#2) |
|
|
В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Задача 98087 (#3) |
|
|
Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.
а) Найдите четыре таких числа.
б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.
|
|
Решение |
Задача 55754 (#4) |
|
|
Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).
Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.
|
|
|
Решение |
Задача 98089 (#5) |
|
|
В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
