- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанная и описанная окружности (17 задач)
- параграф 2. Прямоугольные треугольники (10 задач)
- параграф 3. Правильный треугольник (7 задач)
- параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов (7 задач)
- параграф 5. Целочисленные треугольники (6 задач)
- параграф 6. Разные задачи (21 задача)
- параграф 7. Теорема Менелая (16 задач)
- параграф 8. Теорема Чевы (20 задач)
- параграф 9. Прямая Симсона (15 задач)
- параграф 10. Подерный треугольник (8 задач)
- параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (10 задач)
- параграф 12. Точки Брокара (11 задач)
- параграф 13. Точка Лемуана (17 задач)
- Задачи для самостоятельного решения (7 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике
каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные
вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной
точке.
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
Дана клетчатая доска размером а) 10×12; б) 9×10; в) 9×11. За ход разрешается вычеркнуть любую строку или любой столбец, если там есть хотя бы одна не вычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Есть ли у кого-нибудь выигрышная стратегия?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?
Найдите остаток от деления 2100 на 101.
В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.
Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
Докажите, что все числа ряда
являются составными.
Несколько стеклянных шариков разложено в три кучки. Мальчик, располагающий неограниченным запасом шариков, может за один ход взять по одному шарику из каждой кучки или же добавить из своего запаса в одну из кучек столько шариков, сколько в ней уже есть. Доказать, что за несколько ходов мальчик может добиться того, что в каждой кучке не останется ни одного шарика.
План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?
Докажите, что .
а) Докажите, что если
a + ha = b + hb = c + hc, то
треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат
на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB.
Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC
правильный.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 176]
Задача 56861 (#05.027) |
|
|
а) Докажите, что если
a + ha = b + hb = c + hc, то
треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат
на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB.
Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC
правильный.
|
|
Решение |
Задача 56862 (#05.028) |
|
|
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся
его сторон в точках
A1, B1, C1. Докажите, что если треугольники ABC
и A1B1C1 подобны, то треугольник ABC правильный.
|
|
Решение |
Задача 56863 (#05.029) |
|
|
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины
высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 53391 (#05.030) |
|
|
Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.
|
|
|
Решение |
Задача 56865 (#05.031) |
|
|
В треугольнике ABC с углом A, равным
120o,
биссектрисы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Докажите,
что
A1C1O = 30o.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 176]
