Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 6. Многоугольники >> параграф 2. Четырехугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Вычислите произведение  

Вниз   Решение

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

ВверхВниз   Решение

Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

ВверхВниз   Решение

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шарыгин И.Ф.

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

ВверхВниз   Решение

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A1, B1, C1 и D1 — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A1B1C1D1 определяются точки  A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

ВверхВниз   Решение

Пусть  {pn} – последовательность простых чисел  (p1 = 2,  p2 = 3,  p3 = 5, ...).
  а) Докажите, что  pn > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  pn > 3n?

ВверхВниз   Решение

Король стоит на поле a1. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

ВверхВниз   Решение

В коробке лежит 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение

Ферзь стоит на поле c1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8.

ВверхВниз   Решение

Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

ВверхВниз   Решение

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

ВверхВниз   Решение

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC| AD.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

Задача 57036

Темы:   [ Подобные фигуры ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Преобразования подобия (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A1, B1, C1 и D1 таковы, что  AB||C1D1, AC||B1D1 и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A1B1C1D1 тоже выпуклый, причем  $ \angle$A + $ \angle$C1 = 180o.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57037

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Подобные фигуры ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57041

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57042

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A1, B1, C1 и D1 — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A1B1C1D1 определяются точки  A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57043

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC| AD.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .