В четырёхугольнике ABCD  AB = ВС = m,  ∠АВС = ∠АDС = 120°.  Найдите BD.

   Решение

Даны окружность S, точка A на ней и прямая l. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке A и данной прямой.

   Решение

Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B, причем точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены касательные AP и AQ к окружности S. Докажите, что B — середина отрезка PQ.

   Решение

Пусть R₁, R₂ и R₃ – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  ¹/_R1 + ¹/_R2 + ¹/_R3 ≤ ¹/_r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

   Решение

Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных точек.

   Решение

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.

   Решение

На стороне BC треугольника ABC взяты точки K₁ и K₂. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK₁ и ACK₂ общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK₂ и ACK₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

В некотором царстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 ч вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передать любое указание любому другому жителю и т.д. Каждый житель до поступления указания находится в известном месте (у себя дома) и может передвигаться со скоростью 3 км/ч в любом направлении (по прямой). Доказать, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

   Решение

Найти все натуральные числа x, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа x можно вычесть одну и ту же цифру  a ≠ 0  (все цифры его не меньше a) и при этом получится  (x − a)².

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B₁C₁ вписанной окружности в точке A₂; точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Постройте его четвертую вершину.

   Решение

Известно, что в десятичной записи числа 2²⁹ все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD по четырем сторонам и углу между AB и CD.

   Решение

На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).

   Решение

Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точке M. Найдите ГМТ M.

   Решение

Проведите через данную точку M прямую так, чтобы она отсекала от данного угла с вершиной A треугольник ABC данного периметра 2p.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 101]      

Постройте точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что AX = BY и XY| AC.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по сторонам a и b, если известно, что угол против одной из них в три раза больше угла против другой.

Прислать комментарий

Решение

Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

Прислать комментарий

Решение

Проведите через данную точку M прямую так, чтобы она отсекала от данного угла с вершиной A треугольник ABC данного периметра 2p.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник ABC по медиане m_c и биссектрисе l_c, если  C = 90^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 101]