ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1
и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1,
причем
AA1 = BB1 = pAB и
CC1 = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите,
что
SA1B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса
до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
Квадрат разделен на четыре части двумя
перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит
внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей
равны, то равны и площади всех четырех частей.
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность.
Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности.
Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна
удвоенной площади треугольника ACE.
Даны окружность и две точки A и B внутри ее.
Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты
проходили через данные точки.
Никакие три из четырех точек A, B, C, D не
лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными
окружностями треугольников ABC и ABD равен углу
между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.
Докажите, что
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно,
что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O,
и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1.
Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются
в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).
На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата:
ABCD,
AB1C1D1 и
A2B2CD2; первый квадрат
имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите,
что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 53]
На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата:
ABCD,
AB1C1D1 и
A2B2CD2; первый квадрат
имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите,
что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.
Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC
построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ.
Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков
MQ и AC образуют квадрат.
Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите,
что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма
на стороны квадрата, образуют квадрат.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите,
что
AA1 = BB1 = CC1.
На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние
треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков
AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 53]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке