Можно ли расположить в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?

   Решение

В классе учится 15 мальчиков и 15 девочек. В день 8 Марта некоторые мальчики позвонили некоторым девочкам и поздравили их с праздником (никакой мальчик не звонил одной и той же девочке дважды). Оказалось, что детей можно единственным образом разбить на 15 пар так, чтобы в каждой паре оказались мальчик с девочкой, которой он звонил. Какое наибольшее число звонков могло быть сделано?

   Решение

Две прямые пересекаются под углом . Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда / — рациональное число.

   Решение

Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Пусть l_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB₁ и CC₂, BB₂ и CC₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (или параллельны).

   Решение

Докажите, что  h_a .

   Решение

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

   Решение

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

   Решение

Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что одна из её диагоналей равна 5.

   Решение

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

   Решение

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий

Решение

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.

Прислать комментарий

Решение

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]