Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 29. Аффинные преобразования >> параграф 3. Комплексные числа
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фомин С.В.

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?

Вниз   Решение

Докажите равенство  

ВверхВниз   Решение

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB , касается окружности S2 в точке C и пересекает S1 в точках D и E . Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE , проходит через точку F .

ВверхВниз   Решение

Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а сумма чисел в каждом столбце – отрицательной?

ВверхВниз   Решение

Точка D – середина бокового ребра CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 . Прямые AB1 , BC и DA1 попарно перпендикулярны. Найдите высоту призмы, если AB = BC= AB1 =a .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

ВверхВниз   Решение

Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от центра одного из оснований. Найдите объём цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии друг от друга.

ВверхВниз   Решение

Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

ВверхВниз   Решение

Последовательность многочленов  P0(x) = 1,  P1(x) = x,  P2(x) = x² – 1, ...  задается условием  Pn+1(x) = xPn(x) – Pn–1(x).
Докажите, что уравнение  P100(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

ВверхВниз   Решение

В пространстве проведены две параллельные прямые и пересекающие эти прямые две параллельные плоскости. Докажите, что четыре точки пересечения прямых и плоскостей служат вершинами параллелограмма.

ВверхВниз   Решение

На стороне CD параллелограмма ABCD с тупым углом при вершине D построен равносторонний треугольник CDE так, что точки A и E лежат по разные стороны прямой CD . Известно, что расстояния от точек D и E до прямой BC равны соответственно 3 и 8, а расстояние от точки E до прямой AB равно 13. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

ВверхВниз   Решение

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc$ \bar{z}$$ \bar{w}$ = a + b + c (Морли).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

  с решениями  

Задача 58401

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите, что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120o при вершинах A1, B1 и C1.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58402

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах аффинно правильного многоугольника A1A2...An с центром O внешним образом построены квадраты Aj + 1AjBjCj + 1 (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно 2$ \bigl($1 - cos(2$ \pi$/n)$ \bigr)$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58396

 [Неравенство Птолемея]
Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD$ \ge$AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то

\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_... ...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6. \end{multline*}


в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58403

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58404

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc$ \bar{z}$$ \bar{w}$ = a + b + c (Морли).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .