Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Токарев С.И.

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.
Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

Вниз   Решение

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что последовательность  an = 1 + 17n²  (n ≥ 0)  содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

ВверхВниз   Решение

В пространстве даны параллелограмм ABCD и плоскость M. Расстояния от точек A, B и C до плоскости M равны соответственно a, b и c.
Найти расстояние d от вершины D до плоскости M.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $ \beta$, что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$.


ВверхВниз   Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x1, 2 = a±ib = re±i$\scriptstyle \varphi$. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство

an = rn(c1cos n$\displaystyle \varphi$ + c2sin n$\displaystyle \varphi$).


ВверхВниз   Решение

Автор: Седракян Н.

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
  а) четыре,
  б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Докажите, что при любом a имеет место неравенство:   3(1 + a² + a4) ≥ (1 + a + a²)².

ВверхВниз   Решение

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

ВверхВниз   Решение

Найдите у чисел   а)  (6 + )1999;   б)  (6 + )1999;   в)  (6 + )2000   первые 1000 знаков после запятой.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Какое максимальное число шашек можно расставить на доске 8×8 так, чтобы каждая была под боем?

ВверхВниз   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0;-2;-1) и B(3;2;-1) .

ВверхВниз   Решение

Пусть  a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   an+T = an  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]      

  с решениями  

Задача 60274  (#01.001)

 [Деление с остатком]
Тема:   [ Деление с остатком ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

Докажите, что если a и b – целые числа и  b ≠ 0,  то существует единственная пара чисел q и r, для которой  a = bq + r,  0 ≤ r < |b|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60275  (#01.002)

Тема:   [ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Позиционная система счисления. Докажите, что при q $ \geqslant$ 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = akqk + ak - 1qk - 1 +...+ a1q + a0,

где 0 $ \leqslant$ a0,..., ak < q
Прислать комментарий     Решение

Задача 60276  (#01.003)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть  a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   an+T = an  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60277  (#01.004)

Тема:   [ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a $ \leqslant$ k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k $ \geqslant$ a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60278  (#01.005)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Число x таково, что число x + $ {\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xn + $ {\frac{1}{x^n}}$ также является целым.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .