- глава 1. Метод математической индукции (59 задач)
- глава 2. Комбинаторика (110 задач)
- глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (173 задачи)
- глава 4. Арифметика остатков (209 задач)
- глава 5. Числа, дроби, системы счисления (85 задач)
- глава 6. Многочлены (141 задача)
- глава 7. Комплексные числа (97 задач)
- глава 8. Алгебра + геометрия (90 задач)
- глава 9. Уравнения и системы (100 задач)
- глава 10. Неравенства (76 задач)
- глава 11. Последовательности и ряды (99 задач)
- глава 12. Шутки и ошибки (15 задач)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?
По доске $n$×$n$ прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем каждый её ход был ровно на одну клетку. Клетки занумерованы от 1 до $n^2$ в порядке прохождения ладьи. Пусть $M$ – максимальная разность между номерами соседних (по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение $M$?
Два десятизначных числа назовем соседними, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов (например, 1234567890 и 1234507890 соседние). Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?
Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA, PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?
В четырёхугольнике ABCD AB = BC = CD = 1, AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.
На плоскости даны парабола y = x² и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?
При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.
У каждого целого числа от n + 1 до 2n включительно (n – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.
Докажите, что получится n².
Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х1 = а и х2 = b. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: xn = O(хn–1 + хn–2), где n = 3, 4, ... .
а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
б) Как найти это число, зная числа a и b?
Докажите тождество:
1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]
Задача 60284 (#01.011) |
|
|
Докажите тождество:
13 + 23 +...+ n3 = (1 + 2 +...+ n)2.
|
|
Решение |
Задача 60285 (#01.012) |
|
|
Докажите тождество:
1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
|
|
Решение |
Задача 60286 (#01.013) |
|
|
Докажите тождество:
+
+...+
=
.
|
|
|
Решение |
Задача 102829 (#01.014) |
|
|
Найдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.
|
|
|
Решение |
Задача 60288 (#01.015) |
|
|
Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]
