Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Через противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD проведены две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены через рёбра BC и AD , а также – через рёбра AC и BD . Эти шесть плоскостей задают параллелепипед. Докажите, что если тетраэдр ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны; а если тетраэдр ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники), то параллелепипед – прямоугольный.

Вниз   Решение

Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.

ВверхВниз   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что AC $ \perp$ BD. Найдите длину BC, если расстояние от центра окружности до стороны AD равно 2.

ВверхВниз   Решение

Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?

ВверхВниз   Решение

На сторонах острого угла ABC взяты точки A и C. Одна окружность касается прямой AB в точке B и проходит через точку C. Вторая окружность касается прямой BC в точке B и проходит через точку A. Точка D – вторая общая точка окружностей. Известно, что  AB = a,  CD = b,  BC = c.  Найти AD.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Косухин О.Н., Беднов Б.Б.

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике KLM проведена медиана LN. Известно, что  ∠KLM = ∠LNM,  KM = 10.
Найдите  а) сторону LM;  б) ∠LMK, если расстояние от точки M до центра описанной окружности треугольника KLN равно 10.

ВверхВниз   Решение

Точки K и L лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём  KB = LC.  Точка X симметрична точке K относительно середины стороны AC, а точка Y симметрична точке L относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла A, делит отрезок XY пополам.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике PQR точка T лежит на стороне PR,  ∠QTR = ∠PQR,  PT = 8,  TR = 1.
Найдите   а) сторону QR;   б) угол QRP, если радиус описанной окружности треугольника PQT равен 3.

ВверхВниз   Решение

Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.

ВверхВниз   Решение

Даны точки  A(–1, 5)  и  B(3, –7).  Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка AB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что  BM || AC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фомин Д.

Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна  ½ AC² sin∠A.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любых целых чисел p и q  (q ≠ 0),  справедливо неравенство  

ВверхВниз   Решение

  Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1,  P0 = a0,  Pk = akPk–1 + Pk–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q–1 = 0,  Q0 = 1,  Qk = akQk–1 + Qk–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу  [a0; a1, a2, ..., an].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
    б)  PkQk–1 – Pk–1Qk = (–1)k+1;
    в)   (Pk, Qk) = 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 173]      

  с решениями  

Задача 60599  (#03.147)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60600  (#03.148)

 [Цепные дроби и электрические цепи]
Тема:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Для данного рационального числа a/b постройте электрическую цепь из единичных сопротивлений, общее сопротивление которой равнялось бы a/b. Как такую цепь можно получить при помощи разбиения прямоугольника a×b на квадраты из задачи 60598?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60601  (#03.149)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

  Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1,  P0 = a0,  Pk = akPk–1 + Pk–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q–1 = 0,  Q0 = 1,  Qk = akQk–1 + Qk–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу  [a0; a1, a2, ..., an].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
    б)  PkQk–1 – Pk–1Qk = (–1)k+1;
    в)   (Pk, Qk) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60602  (#03.150)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите следующие свойства подходящих дробей:
  а)  PkQk–2 – Pk–2Qk = (–1)kak  (k ≥ 2);
  б)   – =   (k ≥ 1);
  в)  Q1 < Q2 < ... < Qn;
  г)   < < < ... ≤ ≤ ... < < < ;

  д)   <   (k, l ≥ 0).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60603  (#03.151)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть числа a и b определены равенством  a/b = [a0; a1, a2, ..., an].  Докажите, что уравнение  ax – by = 1  c неизвестными x и y имеет решением одну из пар  (Qn–1, Pn–1)  или  (– Qn–1, – Pn–1),  где  Pn–1/Qn–1  – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 173]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .