Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на n%, где n – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

   Решение

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии a₁, a₂,..., a₅, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos a₁, cos a₂, cos a₃, а также числа sin a₃, sin a₄ и sin a₅ в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.

   Решение

Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A и B , касается стороны CD в точке C и пересекает основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции ABCD , если CD=6 , AE=8 .

   Решение

Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A и B , касается стороны CD в точке C и пересекает основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции ABCD , если BE=26 , DE=9 .

   Решение

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

   Решение

Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз). Могли ли оказаться отмечены
  а) все числа, кроме, быть может, двух?
  б) все числа, кроме, быть может, одного?
  в) все числа?

   Решение

Найдите остаток R(x) от деления многочлена  xⁿ + x + 2  на  x² – 1.

   Решение

Пусть  P(x) = (2x² – 2x + 1)¹⁷(3x² – 3x + 1)¹⁷.  Найдите
  a) сумму коэффициентов этого многочлена;
  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.

   Решение

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x⁵ + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

   Решение

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

   Решение

а) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной окружности, наименьший периметр имеет правильный n-угольник.

   Решение

а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.

   Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите высоту пирамиды.

   Решение

При каких значениях n все коэффициенты в разложении бинома Ньютона  (a + b)ⁿ  нечётны?

   Решение

В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.

   Решение

Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражены целыми числами, если один из катетов этих треугольников равен 15?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

Докажите, что для любого простого числа  p > 2  числитель дроби  ^m/_n = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_p–1  делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа m и n таковы, что  m > n,  m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и  m + n  от деления на  m – n.
Найдите отношение  m : n.

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – целые числа, причём  a + b + c  делится на 6. Докажите, что  a³ + b³ + c³  тоже делится на 6.

Прислать комментарий

Решение

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Прислать комментарий

Решение

Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражены целыми числами, если один из катетов этих треугольников равен 15?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]