Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Вниз   Решение


а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b в таких точках A1 и B1, что AA1 = BB1.
б) Проведите через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A и B.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

ВверхВниз   Решение


Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом.

ВверхВниз   Решение


Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число  aba  также делится на 7.

ВверхВниз   Решение


а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Докажите, что  AD : DC = AB : BC.

б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA1 в отношении  AO : OA1 = (b + c) : a,  где a, b, c  – длины сторон треугольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для монотонно возрастающей функции f (x) уравнения x = f (f (x)) и x = f (x) равносильны.

ВверхВниз   Решение


Как и раньше загадывается число от 1 до 200, а загадавший отвечает на вопросы ``да'' или `` нет''. При этом ровно один раз (за все ответы) он имеет право соврать. Сколько теперь понадобится вопросов, чтобы отгадать задуманное число?

ВверхВниз   Решение


В некотором государстве каждый город соединён с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что среди чисел  [2k]  (k = 0, 1, ...)  бесконечно много составных.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]      



Задача 79423  (#05.011)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Десятичные дроби ]
[ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60850  (#05.012)

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди чисел  [2k]  (k = 0, 1, ...)  бесконечно много составных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60851  (#05.013)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log23 .

Прислать комментарий     Решение

Задача 60852  (#05.014)

 [Метод спуска]
Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Метод спуска ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнения
  а)  8x4 + 4y4 + 2z4 = t4;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3n = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60853  (#05.015)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнение  x³ + x²y + y³ = 0  не имеет рациональных решений, кроме  (0, 0).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .