Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 255 256 257 258 259 260 261 >> [Всего задач: 1854]

Задача 64608

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64610

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64614

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64615

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64654

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Богданов И.И.

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 255 256 257 258 259 260 261 >> [Всего задач: 1854]