Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина >> VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
Классы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC, AD и BE — его биссектрисы. Известно, что AC > BC. Доказать, что AE > DE > BD.

Вниз   Решение

Какое число больше: 3111 или 1714?

ВверхВниз   Решение

Автор: Конягин С.В.

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

ВверхВниз   Решение

Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)

ВверхВниз   Решение

Докажите, что уравнение  3x² + 2 = y²  нельзя решить в целых числах.

ВверхВниз   Решение

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

ВверхВниз   Решение

Что больше: 792 или 891?

ВверхВниз   Решение

Пусть A1, B1, C1, D1 — образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если $ \overrightarrow{AB}$ = $ \overrightarrow{CD}$, то $ \overrightarrow{A_1B_1}$ = $ \overrightarrow{C_1D_1}$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Кузнецов А.

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на описанной окружности ω треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности ω.

ВверхВниз   Решение

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  1/243 = 0,004115226337448...

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов  e1, e2 — в данный базис  e1', e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

ВверхВниз   Решение

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

ВверхВниз   Решение

На плоскости дан многоугольник A1A2...An и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,    
 1$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$,    
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$    
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$.    

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.

ВверхВниз   Решение

Дано число, имеющее 13 разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ясинский В.

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

Задача 64735  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64743  (#10.2)

Темы:   [ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Каждая из двух равных окружностей ω1 и ω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65003  (#2)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA1B1. Докажите, что  OI ⊥ AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64701  (#8.3)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Авторы: Берлов С.Л., Прокопенко Д.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64736  (#9.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Ясинский В.

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .