Версия для печати
Убрать все задачи

---

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

   Решение

---

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

   Решение

---

В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Медиана AD пересекает её в точках X и Y. Найдите угол XOY, если  AC = AB + AD.

   Решение

---

Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (то есть слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64879  (#16)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64880  (#17)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64881  (#18)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64882  (#19)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω₁. Прямые BP, CP вторично пересекают ω₂ в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω₂ в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64883  (#20)

Темы:   [ Общие четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A₁, сторону LM в точках B и B₁, и т.д. Докажите что
  а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD₁A₁, LA₁B₁, MB₁C₁ и NC₁D₁ также пересекаются в одной точке Q;
  б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями