Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

   Решение

---

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

   Решение

---

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64982  (#10.1)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC середины сторон AC, BC, вершина C и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины A, B и ортоцентр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64983  (#10.2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности, касающейся сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Точки A', B', C', D' – середины отрезков LM, MN, NK, KL. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA', BB', CC', DD', – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64984  (#10.3)

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Дано два тетраэдра A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Рассмотрим шесть пар рёбер A_iA_j и B_kB_l, где  (i, j, k, l)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, A₁A₂ и B₃B₄). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64985  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Паскаля ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64986  (#10.5)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями