Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 327 328 329 330 331 332 333 >> [Всего задач: 1854]

Задача 65856

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

Докажите, что можно найти бесконечно много таких пар целых чисел, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 7 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 7.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65857

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

На окружности сидят 12 кузнечиков в различных точках. Эти точки делят окружность на 12 дуг. Отметим 12 середин дуг. По сигналу кузнечики одновременно прыгают, каждый – в ближайшую по часовой стрелке отмеченную точку. Снова образуются 12 дуг, прыжки в середины дуг повторяются, и т. д. Может ли хотя бы один кузнечик вернуться в свою исходную точку после того, как им сделано a) 12 прыжков; б) 13 прыжков?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65876

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Митрофанов И.В., Канель-Белов А.Я.

а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?
б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66201

Темы:	[	Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Параллельный перенос	]
	[	Cерединный перпендикуляр и ГМТ	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66346

Тема:

[

Индукция (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Город имеет вид квадрата $n\times n$, разбитого на кварталы 1×1. Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 327 328 329 330 331 332 333 >> [Всего задач: 1854]