Версия для печати
Убрать все задачи

---

В колоде 16 карт, пронумерованных сверху вниз. Разрешается снять часть колоды сверху, после чего снятую и оставшуюся части колоды, не переворачивая "врезать" друг в друга. Может ли случиться, что после нескольких таких операций карты окажутся пронумерованными снизу вверх? Если да, то за какое наименьшее число операций это может произойти?

   Решение

---

Докажите, что для любых целых чисел p и q  (q ≠ 0),  справедливо неравенство  

   Решение

---

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C₀ и B₀ – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC₀ пересекаются в точке P, а прямые CH и OB₀ – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

   Решение

---

Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

   Решение

---

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ совпадают соответственно с центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ADC$. Известно, что $AB=1$. Найдите длины остальных сторон и углы четырехугольника.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66957  (#21 [10-11 кл])

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Построения одной линейкой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина $A$, центр вписанной окружности $I$, описанная окружность $\omega$ и ее центр $O$. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66958  (#22 [10-11 кл])

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Круглые тела (прочее) ] [ Максимальное/минимальное расстояние ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66959  (#23 [10-11 кл])

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В пространстве даны шесть точек общего положения. Для каждых двух из них покрасим красным точки пересечения (если они есть) отрезка между ними и поверхности тетраэдра с вершинами в четырех оставшихся точках. Докажите, что число красных точек четно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66960  (#24 [11 кл])

Темы:   [ Усеченная пирамида ] [ Сферы (прочее) ] [ Радикальная ось ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ] [ Конус (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что $$ R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2). $$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66961  (#8.1)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ совпадают соответственно с центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ADC$. Известно, что $AB=1$. Найдите длины остальных сторон и углы четырехугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями