Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 66977 (#10.1)

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66978 (#10.2)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66979 (#10.3)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кноп К.А., Челноков Г.Р.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 66980 (#10.4)

Темы:	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Корчемкина Т.А.

Может ли треугольник быть разверткой четырехугольной пирамиды?

Прислать комментарий Решение

Задача 66981 (#10.5)

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема синусов	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]