Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 67236 (#8.7)

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Филипповский Г.Б.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67237 (#8.8)

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Демин Д., Кухарчук И.

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67238 (#9.1)

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67239 (#9.2)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Наглядная геометрия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67240 (#9.3)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Проективные преобразования плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бибиков П.

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]