Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P(x) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Перпендикуляры, опущенные из точек
A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной
точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1,
C1 на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке
(Штейнер).
Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
Решите неравенство:
|x + 2000| < |x - 2001|.
Найдите все натуральные n > 1, для которых n³ – 3 делится на n – 1.
Все рёбра треугольной пирамиды равны a. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.
а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности
в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности,
опущены перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA
и AB. Докажите, что
PC12 = PA1 . PB1 и
PA1 : PB1 = PB2 : PA2.
б) Из произвольной точки O вписанной окружности
треугольника ABC опущены перпендикуляры
OA', OB', OC'
на стороны треугольника ABC и перпендикуляры
OA'', OB'', OC''
на стороны треугольника с вершинами в точках касания.
Докажите, что
OA' . OB' . OC' = OA'' . OB'' . OC''.
На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно BC, OA – центр окружности, проходящей через A и середины отрезков A'B и A'C. Точки OB и OC определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников ABC и OAOBOC.
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA'B'C'D' АВ = ВС = а, AA' = b. Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD. Найдите наибольшее значение площади проекции.
а) Точки P1 и P2 изогонально сопряжены относительно
треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем
центром этой окружности является середина отрезка P1P2.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P1
и P2 проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным
(ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P1
перпендикулярны прямым, соединяющим точку P2 с вершинами треугольника ABC.
Миша сложил из восьми брусков куб (см. рис.). Все бруски имеют один и тот же объём, серые бруски одинаковые и белые бруски тоже одинаковые. Какую часть ребра куба составляют длина, ширина и высота белого бруска?
Задачи Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
Задача 67281 |
|
|
Миша сложил из восьми брусков куб (см. рис.). Все бруски имеют один и тот же объём, серые бруски одинаковые и белые бруски тоже одинаковые. Какую часть ребра куба составляют длина, ширина и высота белого бруска?
|
|
Решение |
Задача 67287 |
|
|
Разрежьте первый параллелограмм на три части и сложите из них второй.
|
|
Решение |
Задача 67283 |
|
|
В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?
|
|
|
Решение |
Задача 67286 |
|
|
На острове живут красные, синие и зелёные хамелеоны. 35 хамелеонов встали в круг. Через минуту все они одновременно поменяли цвет, каждый на цвет одного из своих соседей. Ещё через минуту снова все одновременно поменяли цвета на цвет одного из своих соседей. Могло ли оказаться, что каждый хамелеон побывал и красным, и синим, и зелёным?
|
|
|
Решение |
Задача 67282 |
|
|
Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника 2×3. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!»
Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
