Версия для печати
Убрать все задачи
Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде 
где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.
Решение
Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в
каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.
Решение
Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m).
Решение
Внутри угла AOB, равного 120°, проведены лучи OC и OD
так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла AOC, указав все возможные варианты.
Решение
Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.
Решение
Жители острова Невезения, как и мы с вами, делят сутки на несколько часов, час на несколько минут, а минуту на несколько секунд. Но у них в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове Невезения?
Решение
Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если
а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7.
Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.
Решение
а) В треугольнике
ABC проведены биссектрисы внешних углов
AA1,
BB1 и
CC1 (точки
A1,
B1 и
C1 лежат на прямых
BC,
CA и
AB).
Докажите, что точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной прямой.
б) В треугольнике
ABC проведены биссектрисы
AA1 и
BB1 и биссектриса
внешнего угла
CC1. Докажите, что точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной
прямой.
Решение
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.
Решение
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
45 турнир (2023/2024 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
