Версия для печати
Убрать все задачи

---

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

   Решение

---

Таблица $n\times n$ заполнена целыми числами от 0 до $n$ так, что и в каждой строке, и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку таблицы удачной, если в объединении её строки и её столбца встречаются все числа от 0 до $n$.
а) Каково наибольшее возможное количество удачных клеток?
б) Докажите, что количество удачных клеток чётно.

   Решение

Страница: << 286 287 288 289 290 291 292 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67511

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Равносторонний треугольник разрезан на белые и чёрные треугольники. Известно, что все белые треугольники — прямоугольные и равны друг другу, а все чёрные — равнобедренные и тоже равны друг другу. Обязательно ли кратны $30^\circ$ все углы а) у белых треугольников; б) у чёрных треугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67515

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Эйлера ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $m$ и $n$ со свойством: $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$. Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67519

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть $A$ — набор из $n>1$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел $a,b\in A$, где $a < b$, подсчитаем, сколько чисел в $A$ являются делителями числа $b-a$. Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных $\frac{n(n-1)}2$ чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67520

Темы:   [ Стереометрия (прочее) ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество $K$, что любые два разных куба из $K$ не имеют параллельных рёбер.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67591

Тема:   [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Таблица $n\times n$ заполнена целыми числами от 0 до $n$ так, что и в каждой строке, и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку таблицы удачной, если в объединении её строки и её столбца встречаются все числа от 0 до $n$.
а) Каково наибольшее возможное количество удачных клеток?
б) Докажите, что количество удачных клеток чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 286 287 288 289 290 291 292 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями