Что больше:  1234567·1234569  или  1234568²?

   Решение

Докажите, что  4⁷⁹ < 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4⁸⁰.

   Решение

На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым AA₁, BB₁ и CC₁ относительно соответствующих биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₂, B₂ и C₂. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ лежат на одной прямой.

   Решение

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

   Решение

Дано 10 натуральных чисел:  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀.  Доказать, что их наименьшее общее кратное не меньше 10a₁.

   Решение

В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?

   Решение

Несколько Совершенно Секретных Объектов соединены подземной железной дорогой таким образом, что каждый Объект напрямую соединён не более чем с тремя другими и от каждого Объекта можно добраться под землей до любого другого, сделав не более одной пересадки. Каково максимальное число Совершенно Секретных Объектов?

   Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что  BA₁ : A₁C = 2 : 1.  В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

   Решение

Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.

   Решение

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

   Решение

В треугольник с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах.
Найдите сторону квадрата.

   Решение

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

   Решение

Пусть число α задаётся десятичной дробью
  а) 0,101001000100001000001...;
  б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?

   Решение

Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника ABC в точках A, B и C пересекают продолжения сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.=-1

   Решение

Что больше:  ^10...01/_10...01  (в записи числа в числителе – 1984 нуля, в знаменателе – 1985) или  ^10...01/_10...01  (в числителе – 1985 нулей, в знаменателе – 1986).

   Решение

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

   Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

Прислать комментарий

Решение

Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)

Прислать комментарий

Решение

a₁, a₂, ..., a_n  – такие числа, что  a₁ + a₂ + ... + a_n = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a₁a₂ + a₁a₃ + ... + a_n–1a_n ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения a_ia_j,  i ≠ j).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]