- 7 класс, 1 тур (3 задачи)
- 8 класс, 1 тур (5 задач)
- 9 класс, 1 тур (5 задач)
- 10 класс, 1 тур (5 задач)
- 11 класс, 1 тур (5 задач)
- 7 класс, 2 тур (4 задачи)
- 8 класс, 2 тур (5 задач)
- 9 класс, 2 тур (5 задач)
- 10 класс, 2 тур (5 задач)
- 11 класс, 2 тур (5 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?
a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию: ai ≥ k.
Доказать, что a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую
длину?
Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
Решить в натуральных числах уравнение
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
Найти все действительные решения системы
Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что
Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]
Задача 78483 |
|
|
a, b, c – такие три числа, что abc > 0 и a + b + c > 0. Доказать, что an + bn + cn > 0 при любом натуральном n.
|
|
Решение |
Задача 78486 |
|
|
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
|
|
|
Решение |
Задача 78491 |
|
|
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
|
|
Решение |
Задача 78494 |
|
|
В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)
|
|
|
Решение |
Задача 78501 |
|
|
В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]
