Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблице из n столбцов и 2ⁿ строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)

   Решение

---

Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2^m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.

   Решение

---

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

   Решение

---

В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

   Решение

Страница: << 360 361 362 363 364 365 366 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97761

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97775

Темы:   [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).

На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
  а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
  б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97781

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

а) Доказать, что для любых положительных чисел  x₁, x₂, ..., x_k  (k > 3)  выполняется неравенство:

б) Доказать, что это неравенство ни для какого  k > 3  нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97784

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2^m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97836

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Перестановки и подстановки ] [ Процессы и операции ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 360 361 362 363 364 365 366 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями