Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

Докажите, что сумма расстояний от любой точки до всех вершин выпуклого четырёхугольника площади 1, не может быть меньше 2 .

Решение

Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите угол между соседними боковыми гранями.

Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение

На продолжениях сторон треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что $\overrightarrow{AB_1}$ = 2 $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC_1}$ = 2 $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CA_1}$ = 2 $\overrightarrow{AC}$ . Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если известно, что площадь треугольника ABC равна S.

Решение

Автор: Буфетов А.И.

Миша стоит в центре круглой лужайке радиуса 100 метров. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать?

Решение

а) Показать, что любой треугольник можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить прямоугольник;
б) показать, что любой прямоугольник можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить квадрат;
в) верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить квадрат?

Решение

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$ . Точки $K$ , $L$ , $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ , $BC$ , $CD$ и $DA$ . Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$ . Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$ .

Решение

Автор: Мурашкин М.В.

Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$ , $х_2$ , ..., $х_n$ . Его производная имеет корни $y_1$ , $y_2$ , ..., $y_{n-1}$ . Докажите неравенство $\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$

Решение

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что существует бесконечно много таких пар (a, b) натуральных чисел, что a² + 1 делится на b, а b² + 1 делится на a.

Решение

Задача 108026 (#1)

Задача 97948 (#2)

Задача 97949 (#3)

Задача 108027 (#4)

Задача 97951 (#5)