Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью 2 - и , перелить из одной в другую ровно 1 литр?

   Решение

---

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

---

В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое большее число сторон может он иметь?

   Решение

---

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108009  (#1)

Темы:   [ Треугольник (построения) ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Метод ГМТ ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98276  (#2)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108008  (#3)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что  PA = PK  и  QA = QK.
Докажите, что  ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98278  (#4)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Теория алгоритмов ] [ Ориентированные графы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В компанию из n человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
  а) Может ли журналист установить, кто из компании есть Z, задав менее n вопросов?
  б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98279  (#5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Невыпуклые многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями