Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

2n = 10a + b.  Доказать, что если  n > 3,  то ab делится на 6.  (n, a и b – целые числа,  b < 10.)

Вниз   Решение


На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

ВверхВниз   Решение


Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство   ,   где x1, ..., xn – положительные числа.

ВверхВниз   Решение


На доске написано число 1. Если на доске написано число а, его можно заменить любым числом вида  a + d,  где d взаимно просто с а и  10 ≤ d ≤ 20.
Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?

ВверхВниз   Решение


На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; $ \varphi$ = $ \angle$ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I : II2 = tg2$ {\frac{\varphi }{2}}$. Докажите также, что r = r1cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при  a, b, c > 0  имеет место неравенство  

ВверхВниз   Решение


Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      



Задача 98320

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98325

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Построения (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98349

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107829

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В выпуклом шестиугольнике AC1BA1CB1   AB1 = AC1BC1 = BA1CA1 = CB1  и  ∠A + ∠B + ∠C = ∠A1 + ∠B1 + ∠C1.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98321

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел  A, 2A, ..., 500000A  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .