Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  BM : MC?

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального числа  n > 10000  найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что
 0 < m – n < 3 .

   Решение

---

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
    x² + y² = A,
    |x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
    x² + y² + z² = C,
    |x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что  m > n > 1.  Найдите m и n.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108160

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На стороне AB параллелограмма ABCD (или на её продолжении) взята точка M, для которой  ∠MAD = ∠AMO,  где O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что  MD = MC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98373

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Перемножаются все выражения вида     (при всевозможных комбинациях знаков).
Докажите, что результат   а) целое число,   б) квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98379

Темы:   [ Точка Лемуана ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что  AP = AQ.  Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98387

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Квадрат разбит прямыми на 25 квадратиков-клеток. В некоторых клетках нарисована одна из диагоналей так, что никакие две диагонали не имеют общей точки (даже общего конца). Каково наибольшее возможное число нарисованных диагоналей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98392

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Метод координат на плоскости ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Правильные многогранники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
    x² + y² = A,
    |x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
    x² + y² + z² = C,
    |x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что  m > n > 1.  Найдите m и n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями