Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 226 227 228 229 230 231 232 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57701 (#13.019)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 3
Классы: 9

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB² + BC² + CD² + DA² $\ge$ AC² + BD², причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Задача 57702 (#13.020)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

Прислать комментарий Решение

Задача 57703 (#13.021)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Прислать комментарий Решение

Задача 57704 (#13.022)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_n $\ge$ nR, где R — радиус окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 57705 (#13.023)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 226 227 228 229 230 231 232 >> [Всего задач: 1956]