Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56917 (#05.072)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56918 (#05.073)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56919 (#05.074)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 56920 (#05.075)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Прислать комментарий Решение

Задача 56921 (#05.076)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁, B₁ и C₁. На лучах OA₁, OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂, OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 1956]