Страница:
<< 1288 1289 1290 1291
1292 1293 1294 >> [Всего задач: 6702]
Центр O описанной окружности четырёхугольника ABCD не лежит на диагоналях этого четырёхугольника. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC – в точке F.
а) Докажите все шесть описанных окружностей треугольников ABF, CDF, BEC, ADE, BOD и AOC пересекаются в некоторой точке K.
б) Верно ли, что точка K лежит на прямой EF, а прямые
EF и OK перпендикулярны?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если AB = AE = ED = 1, то BC + CD < 1.
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть точка
A' лежит на одной из сторон трапеции
ABCD , причём
прямая
AA' делит площадь трапеции пополам. Точки
B' ,
C' и
D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения
диагоналей четырёхугольников
ABCD и
A'B'C'D' симметричны
относительно середины средней линии трапеции
ABCD .
Страница:
<< 1288 1289 1290 1291
1292 1293 1294 >> [Всего задач: 6702]
Фильтр
